Triángulos de Leonardo

Triángulos de Leonardo:

Son un conjunto de triángulos infinitos, donde cada triangulo es infinito y están compuesto por numero reales, o por números hiperreales la diagonal cero (0D) está definida por la formula 0D = jⁿ⁺¹ /jⁿ,  donde  j є R, pero j no pertenece a N, j no pertenece a Z_+, n є N, n ≥ 0, los términos coeficiente de la diagonal uno (1D) está definida por la formula 1D = jn, donde j є R, pero j no pertenece a N, j no pertenece a Z_+, n є N, n ≥ 1el conjunto de las cantidades colocadas en las posiciones intermedias a partir de la segunda diagonal es el resultado, de la suma de las dos cantidades colocadas en las posiciones diagonal derecha e diagonal izquierda las cuales están ubicadas por encima de la posición de la cantidad seleccionada.

Son un conjunto de triángulos infinitos, donde cada triangulo es infinito y está compuesto por numero entero, la diagonal cero (0D) está definida por la formula 0D = jⁿ⁺¹ /jⁿ,  donde  j є N, j є Z_+,  j ≥ 2_, n є N, n є Z_+, n ≥ 0, los términos coeficiente de la diagonal uno (1D) está definida por la formula 1D = jn, donde  j є N, j є Z_+, j ≥ 2_, n є N, n є Z_+, n ≥ 1, el conjunto de las cantidades colocadas en las posiciones intermedias a partir de la segunda diagonal es el resultado, de la suma de las dos cantidades colocadas en las posiciones diagonal derecha e diagonal izquierda las cuales están ubicadas por encima de la posición de la cantidad seleccionada.

Triángulos Leonard-Pascal:

Son un conjunto de triángulos infinitos, donde cada triangulo es infinito y está compuesto por numero entero, la diagonal cero (0D) está definida por la formula 0D = jⁿ⁺¹ /jⁿ,  donde  j є N, j є Z_+,  j ≥ 2_, n є N, n є Z_+, n ≥ 0, los términos coeficiente de la diagonal uno (1D) está definida por la formula 1D = jn, donde  j є N, j є Z_+, j ≥ 2_, n є N, n є Z_+, n ≥ 1, el conjunto de las cantidades colocadas en las posiciones intermedias a partir de la segunda diagonal es el resultado, de la suma de las dos cantidades colocadas en las posiciones diagonal derecha e diagonal izquierda las cuales están ubicadas por encima de la posición de la cantidad seleccionada.

Triangulo Pascal: es un triángulo infinito, el cual está compuesto por números enteros, la diagonal cero  (0D) está definida por la formula general 0D = jⁿ⁺¹ /jⁿ,  donde  j є N, j є Z_+, j = 1_, n є N, n є Z_+, n ≥ 0, los términos coeficiente de la diagonal uno (1D) está definida por la formula 1D = jn, donde  j є N, j є Z_+, n є N, n є Z_+, n ≥ 1, el conjunto de las cantidades colocadas en las posiciones intermedias a partir de la segunda diagonal es el resultado, de la suma de las dos cantidades colocadas en las posiciones diagonal derecha e diagonal izquierda las cuales están ubicadas por encima de la posición de la cantidad seleccionada.

El triángulo de pascal fue trabajado por grandes matemáticos entre los cuales podemos mencionar: al matemático hindú nacido en Paquistán del siglo IV antes de Cristo, al siglo III antes de Cristo Pingala  poco más o menos 200 años antes de Cristo, los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029) y Omar Khayyám (1048–1131), los matemáticos Chinos JiaXian (1010–1070), y en el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298),  el humanista alemán Petrus Apianus (1495–1552), el algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77), el matemático alemán Michael Stifel (1486 - 1567) y el matemático francés François Viète (1540-1603),  matemático HYPERLINK "https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematician"francés  Pierre Raymond de Montmort  (1678 -1719), el matemático HYPERLINK "https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematician"francés Blaise Pascal (1623-1662) y el matemático francés Abraham de Moivre ( 1667 - 1754, ).

El famoso triangulo matemático de (Pascal, Khayyám, Yang Hui, Pingala) en más de 2190 años ha sido trabajado por millones de matemáticos ilustres y generalmente  han mostrado el triángulo matemático en su diagonal cero con el 1, porque j = 1, utilizando esta única forma del binomio de Newton j(a+b)ⁿ . Pero gracia al Dios de pascal,  en mayo del año 2017, el Dominicano Jose Joel Leonardo descubre que la diagonal cero puede ser representada por cualquier número real o hiperreal, el cual es representado por la variable j. La diagonal cero describe una sucesión la cual es representada por la formula general 0D = jⁿ⁺¹ /jⁿ , esta humilde innovación sirve para calcular los coeficiente del binomio j(a+b)ⁿ , j є R, pero j no pertenece a N, j no pertenece a Z_+, n є N, n ≥ 0, cuando la variable j es un número real o hiperreal, pero cuando la variable j є N, j є Z_+,  j ≥ 2_, y la variable n є N, n є Z_+, n ≥ 0 surgen los infinitos triángulos Leonard-Pascal.

Diagonales de los Triángulos Leonard-Pascal

Formula General de la Diagonal cero.

0D = jⁿ⁺¹ /jⁿ,  donde  j є N, j є Z_+, siendo la variable j ≥2_, n є N, n є  Z_+, n ≥ 0.

 Formula General de la Diagonal uno Triangulo de Leonardo:

1D = jn, donde  j є N, j є Z₊, j ≥ 2, n є N, n є Z_+, n ≥ 1

La diagonal dos 2D, está determinada por la sucesión creciente, donde la variable j está multiplicando cada elemento del conjunto de los números triangulares (j, 3j, 6j, 10j, 15j, ...) siendo la variable             j є N, j ≥ 1, n є N, n ≥ 1, los cuales son enteros del tipo N = (j + 2j + 3j +4j +... + nj).

La diagonal tres 3D, está determinada por la sucesión creciente, donde la variable j está multiplicando cada elemento del conjunto de Los números cuadrados (j, 4j, 9j, 16j, 25j, 36j...) siendo la variable j є N, j ≥ 1, n є N, n ≥ 1  estos son enteros del tipo:

N = j + 3j + 5j + 7j + 8j +... + j(2n-1)

La diagonal cuatro 4D, está determinada por la sucesión creciente, donde la variable j está multiplicando cada elemento del conjunto de los números pentagonales (j, 5j, 12j, 22j,...) siendo la variable j є N, j ≥ 1, n є N, n ≥ 1, estos son enteros del tipo:

 N = j + 4j + 7j + 10j +... +j(3n-2)

La diagonal cinco 5D, está determinada por la sucesión creciente, donde la variable j está multiplicando cada elemento del conjunto de Los números hexagonales (j, 6j, 15j, 28j,...) siendo la variable j є N, j ≥ 1, n є N, n ≥ 1, estos son enteros del tipo:

 N = j + 5j + 9j + 11j +... + j(4n-3)

Las diagonales (0D, 1D, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D,…) están determinadas hasta el infinito utilizando la mecánicas matemáticas anteriores, cuando la diagonal es siete, entonces la variable j está multiplicando cada elemento del conjunto de Los números octagonales. Esto indica que el conjunto de los números es nD = n +1.

Ejemplo si tenemos la diagonal cuatro (4D) entonces, 4+1=5, esto indica que se trata del conjunto de los numero pentagonales.

En estos casos los diferentes valores que puede poseer la variable j, hace que se generen infinitas sucesiones crecientes en cualquieras de las diagonales de los triángulos Leonard-Pascal.

Suma de los Términos

La suma de los términos en cualquier fila de un triángulo Leonard-pascal es resuelto por la formula +nF = j2ⁿ, donde la variable  j є N, j ≥ 1, n є N, n ≥ 0

¿Cuál es la suma de los términos coeficientes en la fila seis, si la variable j = 9, en un triángulo Leonard-Pascal, y cuantos términos coeficiente existen en la  fila seis?

Datos: 6F= ¿?, n = 6, j = 9.

Formula suma de términos: +nF = j2ⁿ.

+nF = j2ⁿ = 9(2⁶) = 9(64) = 576

La cantidad de términos coeficiente es resuelta con la formula:

#P = n + 1  Sustituyendo n = 6, entonces  #P = 6 + 1 = 7

Repuesta: Siendo la variable j=9 la suma de los términos coeficientes en la fila seis  es de 6F=576 y existen #P=7 términos coeficientes

Propiedades del Triángulo Leonard Pascal j = 9.

La diagonal cero está definida por la sucesión uniforme que describe la  formula general 0D = jⁿ⁺¹ /jⁿ,  siendo:

j є N, j ≥ 1, n є N, n ≥ 0, entonces la variable j = 9

La diagonal uno está definida por la sucesión creciente que describe la  formula general para la diagonal1D = jn siendo:

j є N, j ≥ 1, n є N, n ≥ 1, entonces la variable j = 9

Desde la diagonal (dos, tres, cuatros…hasta el infinito), la variable j = 9 y dependiendo a la diagonal a que pertenece multiplica los elementos del conjunto de los números (triangulares, cuadrados, pentagonales….hasta el infinito). Ejemplo: si es la diagonal tres (3D) entonces la variable j = 9 multiplica los elementos del conjunto de los número cuadrados; pero si es la diagonal siete (7D) entonces la variable j = 9 multiplica los elementos del conjunto de los números octagonales y así sucesivamente hasta extenderse al infinito. De esta forma quedan definidas todas las diagonales del triángulo Leonard-Pascar variable j=9.

Esta son la posiciones en la  que se encuentran los coeficiente del binomio en el triángulo Leonard-Pascal siendo la variable j=9, entonces j(a+b)ⁿ = 9(a+b)ⁿ.

En el triángulo Leonard-Pascal j = 9, si sumamos el resultado de la suma de termino de cualquiera de la  fila, entonces el resultado es igual a nueve.

Formula suma de términos coeficiente en cada fila: +nF=j2ⁿ entonces j ≥ 1, j E N, n ≥ 0, n E N, entonces la variable j=9, donde j2ⁿ = 9(2ⁿ) = n, porque n = (n_a+n_b+n_c+…+n_z) = 9.

+0F = j2⁰ = 9(2⁰) = 9(1)  = 9

+1F = j2¹ = 9(2¹) = 9(2) = 18 = 1+8  = 9

+2F = j2² = 9(2²) = 9(4) = 36 = 3+6  = 9

+3F = j2³ = 9(2³) = 9(8) = 72 =  7+2  = 9

+4F = j2⁴ = 9(2⁴) = 9(16) = 144 = 1+4+4  = 9

+5F = j2⁵ =  9(2⁵) = 9(32) = 288 = 2+8+8  = 9

+6F = j2⁶ = 9(2⁶) = 9(64) = 576 =  5+7+6  = 9

+7F = j2⁷ = 9(2⁷) = 9(128) =1152 = 1+1+5+2  = 9

Triangulos Leonard - Pascal

Los Triángulos Leonard-Pascal: son un conjunto de triángulos infinitos formados por números enteros, donde la diagonal cero izquierda (0Di) y la diagonal  cero derecha (0Dd)  es representada por la variable j, y el conjunto de las cantidades colocadas en las posiciones intermedias a partir de la segunda fila es el resultado, de la suma de las dos cantidades colocadas en las posiciones diagonal derecha e diagonal izquierda las cuales están ubicadas por encima de la posición seleccionada. La variable j = N, N representa el conjunto de los números naturales, pero j > 1. Los triángulos Leonard-Pascal son generados por este binomio: j(a + b)ⁿ  cuando la variable j = 1 entonces surge el conocido triangulo de pascal, pero cuando la Variable j>1, entonces  surgen los infinitos triángulos Leonard-Pascal que poseen diversas Utilidades matemáticas.

En los  triangulo Leonard-Pascal, el conjunto de posiciones van aumentando en cada fila, al mismo ritmo que aumentan los números naturales. Las posiciones es un concepto fundamental en los triángulos Leonard-Pascal, el concepto posición es totalmente diferente al concepto cantidad. La posición está relacionada con el concepto Cartesiano de par ordenado, creado por el matemático René Descartes. La cantidad está representada por símbolos llamados números, los cuales son colocado en cada unas de las posiciones que están determinada en el triangulo Leonard-Pascal,

Los números son colocados en cada unas de la posiciones  mediante una mecánica matemática llamada algoritmo.

Fila: es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera horizontal en cualquier  Triangulo Leonard – Pascal seleccionado. Estas son nombradas  y simbolizadas en: 0F = fila cero, 1F= fila uno, 2F= fila dos y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

El numero de fila es igual a n, entonces la formula es;

 #F = n, entonces  n ≥ 0, donde n es elemento de N  y N representa el conjunto de los números naturales,

La fila cero (0F), posee una sola posición y representa el punto de partida para las demás posiciones. La fila uno (1F), posee dos extremos y carece de posición intermedia. La fila dos (2F), posee dos extremos y una posición intermedia. A partir de la fila tres  de un Triangulo Leonard-Pascal, las filas tienen tres partes fundamentales las cuales son: extremo inicial, extremo final y posiciones intermedias.

Extremo inicial: es la primera posición de una fila en cualquier triangulo Leonard-Pascal seleccionado.

Extremo final: es la última posición de una fila en cualquier triangulo Leonard-Pascal seleccionado.

Posiciones intermedias: son un conjunto de posiciones colocadas entre el extremo inicial y el extremo final.

Posición intermedia: es la posición colocada en medio del extremo inicial y el extremo final.

Columna: es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical en cualquier  Triangulo Leonard-Pascal.

Las columnas se clasifican en: columnas izquierdas, columna central y columnas derechas.

Columnas izquierdas: Es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical  y están ubicadas a la izquierda de la columna central. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Ci = columna izquierda, 1Ci=primera columna izquierda, 2Ci = segunda columna izquierda, 3Ci = tercera columna izquierda y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

Columna central: es un conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical y que divide cada Triangulo Leonard - Pascal  en dos partes iguales. Está colocada en la posición central del triangulo seleccionado. El símbolo que representa  la columna central es: 0C. La columna central es el punto de partida del conjunto de las columnas izquierdas  y el conjunto de las columnas derechas.

El conjunto de posiciones que poseen todas las columnas derechas son idénticas al conjunto de posiciones que poseen todas las columnas izquierdas.

Columnas derechas. Es el conjunto de posiciones que están colocadas de manera vertical  y están ubicadas a la derecha de la columna central. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Cd = columna derecha, 1Cd=primera columna derecha, 2Cd = segunda columna derecha, 3Cd = tercera columna derecha y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

En el triangulo Leonard-Pascal, una posición está definida por un par ordenado compuesto por el símbolo de una columna y el símbolo de una fila, dentro de dos paréntesis separados por una coma. J(C, F)

Diagonal: es un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal en un triangulo Leonard-Pascal. Las diagonales están orientadas en la dirección y sentido a la derecha o a la izquierda de la posición inicial de un triangulo Leonard-Pascal.

Diagonal derecha: es un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal y están orientadas en la dirección y sentido a la derecha de un triangulo Leonard-Pascal. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Dd = Diagonal derecha, 0Dd = Diagonal derecha cero, 1Dd = Diagonal derecha uno, 2Dd = Diagonal derecha dos y así sucesivamente hasta extenderse al infinito

Diagonal izquierda: es un conjunto de posiciones que están colocadas de forma transversal y están orientadas en la dirección y sentido a la izquierda de un triangulo Leonard-Pascal. Las cuales son nombradas y simbolizadas con  las siguientes representaciones: Di = Diagonal izquierda, 0Di = Diagonal izquierda cero, 1Di = Diagonal izquierda uno, 2Di = Diagonal izquierda dos y así sucesivamente hasta extenderse al infinito.

El conjunto de posiciones que poseen todas las diagonales derechas son idénticas al conjunto de posiciones que poseen todas las diagonales izquierdas, por lo tanto 0Di=0Dd.

 

La diagonal cero está definida por la formula general: n ≥ 0 donde n es elemento de N  y N representa el conjunto de los números naturales.

 0D= j^{n +1}/ jⁿ.

 0Di=0Dd =0D

 Formula general para la diagonal uno:

1D =jn, donde  n ≥ 1 donde n es elemento de N  y N representa el conjunto de los números naturales.

 La posición (1Cd, 5F) es una posición valida en este triangulo Leonard - Pascal, pero la posición (1Cd, 4F) es una posición invalida o farsa en este triangulo Leonard - Pascal, debido a que no está definida. Este triangulo Leonard - Pascal posee 28 posiciones valida.

El numero de fila es igual a n, entonces la formula es;    #F = n.
 Entonces  n ≥ 0, donde n = N  y N representa el conjunto de los números naturales.

La cantidad de posiciones que existen en cada fila  es igual a  n+1.  Esta es la formula  #P = n + 1

#P = Numero de posiciones, n ≥ 0, n = N. Donde N es igual al conjunto de los números naturales.

Observemos este problema, ¿Cuantas posiciones posee la fila ocho? 

8F es el numero de fila entonces n = 8.

Aplicando la formula #P = n +1 = 8+1= 9, esto indica que en la fila ocho existen nueves posiciones.

El famoso triangulo de pascal  es un  elemento del conjunto de los infinitos triángulos que se pueden formar utilizando este algoritmo.

Con los triángulos Leonard-Pascal se resuelven el coeficiente del binomio expresado de la forma: j(a + b)ⁿ.

Cuando la variable j=2, tenemos el binomio 2(a + b)ⁿ, el cual es desarrollado: 2(a + b)⁰ = 2(1)=2. 

2(a + b)¹  = 2(a + b) = 2a + 2b.  

2(a + b)² = 2(a² + 2ab + b²)  =2a² + 4ab +2b².  

 2(a + b)³ = 2(a³+3a²b+3ab²+b³)= 2a³+6a²b+6ab²+2b³.

Si observamos comprobaremos que todos los coeficientes del desarrollo del binomio 2(a + b)ⁿ están solucionados por el primer triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2.

La formula de la sucesión 2ⁿ /2^{n -1} , siendo n≥0, n es igual a cualquier numero entero positivo. Con el triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2 tenemos la solución de esta sucesión infinita, en la primera diagonal izquierda (0Di) y la primera diagonal derecha (0Dd), conocida como la diagonal cero.  

Siendo n=0 entonces 2ⁿ /2^{n -1} = 2⁰ /2^{o -1} = 2⁰ /2 ^-1 = 1 /0.5 = 2.

Siendo n=1 entonces 2ⁿ /2^{n -1} = 2¹ /2^{1 -1} = 2¹ /2 ⁰ = 2 /1 = 2.

Siendo n=2 entonces 2ⁿ /2^{n -1} = 2² /2^{2 -1} = 2² /2¹ = 4 /2 = 2.

Siendo n=3 entonces 2³ /2^{3 -1} = 2³ /2^{3 -1} = 2³ /2 ² = 8 /4 = 2.

La sucesión 2n, siendo n ≥ 1 n es igual a cualquier número entero positivo, la sucesión infinita de números positivos pares (2, 4, 6, 8…), está representada en la diagonal derecha uno (1Dd) y  la diagonal izquierda uno (1Di).

Siendo n=1 entonces 2n = 2(1) = 2.

Siendo n=2 entonces 2n = 2(2) = 4.

Siendo n=3 entonces 2n = 2(3) = 6.

Siendo n=4 entonces 2n = 2(4) = 8.

La sucesión 2ⁿ, siendo n ≥ 1,  n es igual a cualquier número entero positivo, la sucesión infinita 2ⁿ = (2,4,8,16,…), está representada en la suma de las cantidades que están ubicadas en el conjunto de posiciones de cada fila. Iniciamos sumando en la fila cero (0F), luego en la fila uno (0F), después en la fila dos (2F) y así sucesivamente hasta extenderse al infinito. Obsérvenos triangulo Leonard-Pascal, siendo j=2

 Siendo n=1 entonces 2ⁿ = 2¹ = 2 . 0F =2.

Siendo n=2 entonces 2ⁿ = 2² = 4 . 1F =2+2=4

Siendo n=3 entonces 2ⁿ = 2³ = 8 . 2F =2+4+2=8

Siendo n=1 entonces 2ⁿ = 2⁴ = 16 . 3F =2+6+6+2=16